Solución de Examen Final Física I


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1 Solución de Examen Final Física I Temario A Departamento de Física Escuela de Ciencias Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala 28 de mayo de 2013 Un disco estacionario se encuentra acoplado a un motor que hace que gire con velocidad angular constante de 10 rad/s. Se desconecta el motor y el disco se frena por el torque de fricción en el eje alcanzando el reposo después de rotar 10.0 radianes. La inercia del disco es de 5.00 kg m 2. Pregunta 1 La desaceleración angular constante del disco en rad/s 2 es: Se conoce θ = 10 rad, ω 0 = 10 rad/s y ω f = 0 rad/s. Entonces la aceleración angular α se puede calcular con la siguiente ecuación: ω 2 f ω 2 0 = 2 α θ (1) Despejando α: α = ω2 0 2θ e) α = 5.00 rad/s Pregunta 2 El trabajo en J que hace el torque de fricción es el eje para frenar completamente el disco es: W = τθ (2) 1

2 Sustituyendo τ = Iα: W = Iαθ Evaluando el resultado anterior y I = 5.00 kg/m 2 : b) W = 250 J Pregunta 3 La magnitud del torque de fricción en el eje en N m es: τ = I α (3) a) τ = 25 N m Una esfera sólida de 20.0 kg y de radio m rueda sin resbalar a lo largo de una línea recta en un plano horizontal con una rapidez de traslación de 10.0 m/s. Pregunta 4 La magnitud de la cantidad de movimiento angular con relación al eje de rotación que pasa por el centro instantáneode rotación perpendicular al plano de traslación en kg m 2 /s es: El eje de rotación instantáneo es aquel que pasa por el punto de contacto con la superficie. El momento angular se calcula por medio de: L = Iω (4) donde I es el momento de inercia respecto al eje instantáneo. Por el teorema de ejes paralelos y considerando el momento de inercia de una esfera respecto a su centro de masa como I 0 = 2/5mr 2. I = I 0 + md 2 = 2 5 mr2 + mr 2 = 7 5 mr2 donde r es el radio de la esfera. Como la esfera rueda sin resbalar, entonces cumple v = ωr, entonces L es: L = 7 ( v ) 5 mr2 = 7 r 5 mrv c) L = 140 kg m 2 /s 2

3 Pregunta 5 La esfera sólida sube un plano inclinado rotando sin resbalar y llega a otra porción horizontal, si la pérdida de la cantidad de movimiento angular es 28 kg m 2 /s, con respecto al eje de rotación que pasa por el centro instantáneo de rotación perpendicular al plano de traslación, la nueva rapidez de traslación en m/s es: Se sabe que L = 28 kg m/s 2 y L = L f L 0 De lo cual Y L es L f = L 0 + L = 112 kg m 2 /s L f = I v f r v f = rl I d) v f = 8.00 m/s Un bloque metálico cúbico de m de lado y densidad 3400 kg/m 3 se encuentra dentro de un tanque lleno de agua completamente sumergido, una cuerda sujeta a la tapadera evita que se hunda (g = 9.8 m/s 2 ) Pregunta 6 La tensión de la cuerda en N que evita que se hunda es: (Densidad del agua = 1000 kg/m 3 ) La suma de fuerzas sobre el bloque en equilibrio es: T + F e mg = 0 donde T es la tensión y F e la fuerza de empuje. Despejando para T y usando el principio de Arqúimides que enuncia que F e = ρ a V g: T = mg F e = ρ 0 V g ρ a V g donde ρ o = 3400 kg/m 3. c) T = N Pregunta 7 Se rompe la cuerda, la aceleración con que se hunde en m/s 2 antes de llegar al fonde es: 3

4 Usando la segunda ley de Newton y las fuerzas que actúan sobre el bloque: mg F e = ma Sustituyendo para F e según el principo de Arquímides y m = ρ o V ρ o V g ρ a V g = ρ o V a Despejando la aceleración a = ρ o ρ a g ρ o d) a = 6.92 m/s 2 Pregunta 8 Suponga que el tanque se llena de mercurio y el bloque flota en equilibrio con su cara superior horizontal, la altura en m sobre el mercurio que tendría la cara superior del bloque metálico es: Ahora el bloque está en equilibrio con cierta fracción del volumen sumergido. Las fuerzas en equilibrio son: F e mg = 0 Sustituyendo F e con un volumen del fluido desalojado como V s = A(l d), donde l es el lado del cubo y d la distancia sobre la superficie de mercurio: ρ m V s g ρ o V g = 0 ρ m A(l d) ρ o Al = 0 La sección transversal A se cancela, ya que es común a ambos volúmenes. Despejando d se obtiene: d = ρ m ρ o l ρ m b) d = m Pregunta 9 Un tubo en U con sección uniforme se encuentra inicialmente con agua en sus 2 lados, cuidadosamente se le agrega aceite a una de sus ramas hasta que la diferencia de alturas entre la parte superior del lado donde se vierte el aceite y la parte superior del lado que tiene agua es de cm. La altura en cm que se vertió de aceite es: (Densidad del aceite = 800 kg/m 3 ) 4

5 Las presiones debidas a ambas columnas son iguales: P a = P w ρ a gh a = ρ w gh w donde a denota el aceite y w al agua. La altura de aceite debe ser mayor ya que es un líquido menos denso. Se conoce que h a h w = 0.2cm. Se puede escribir ρ a (h a h w ) + ρ a h w = ρ w h w Despejando h w, se obtiene h w = 0.8 cm. Sumando la diferencia, el resultado es a) h a = 1 cm Pregunta 10 Una prensa hidraúlica está formada por un depósito lleno de aceite a presión y dos émbolos movibles, el pequeño tiene un área de 10 cm 2 y el mayor un área de 125 cm 2. Si no hay fuga de aceite, la fuerza en N sobre el émbolo mayor cuando se ejerce una fuerza de 800 N sobre el émbolo pequeño es: Las presione en ambos émbolos debe ser iguales, ya que el sistema está aislado. P 1 = P 2 Donde 1 denota el émbolo pequeño y 2 el émbolo grande, de la definición de presión: F 1 = F 2 F 2 = A 2 F 1 A 1 A 2 A 1 e) F 2 = N Una tubería que transporta agua se emplea para llenar una depósito. El caudal que pasa por la tubería es uniforme y tarda 8.00 horas en llenar un depósito de 115.2m 3. El area de la tubería en la descarga al depósito es de 10cm 2, encontrar: Pregunta 11 El caudal que transporta la tubería en l/s es: Para resolver este problema solo es necesario conocer la tasa a la cual el volumen cambia. 5

6 Se tiene que un deposito de 115.2m 3 se llena en 8h, dado que el caudal es constante entonces se tiene que la razón entre el volumen y el tiempo en que se llena el tanque nos da el caudal. Pregunta 12 C = V/t (5) d) C = 4L/s La rapidez en m/s en una porción de la tubería que tiene una sección de 20.0cm 2 es Dado que el caudal es constante, se tiene que el caudal se puede representar de esta manera: C = va (6) donde A es el area transversal de la tubería y v es la rapidez del agua. b) v = 2m/s Pregunta 13 La presión manométrica en Pa en un tramo de tubería que tiene una sección de 20.0cm 2 que se encuentra a la misma altura que la descarga al depósito es: Para este caso se busca la velocidad del fluido en el area de descarga con la ecuación de continuidad en los fluidos: A 1 v 1 = A 2 v 2 (7) Dado que estan a la misma altura, utilizando el principio de Bernoulli: De modo que se tiene que: P 1 + 1/2ρv 2 + ρgy 1 = P 2 + 1/2ρv ρgy 2 (8) P man = 1/2ρ(v 2 2 v 2 1) a) P man = 6000P a Un depósito metálico grande contiene agua, la válvula de descarga tiene un área de 20.0 cm 2.Las alturas con respecto al nivel del suelo son de m para el nivel superior del agua, m para la posición de la válvula de salida y de m para el fondo del tanque. La válvula descarga el agua a la atmósfera. Considerar que la presión atmosférica es Pa. 6

7 Pregunta 14 Si el tanque metálico es un depósito abierto y se abre la válvula completamente, el caudal en l/s que sale del tanque es: Utilizando el principio de Bernoulli(ec. 8). Pero dado que el tanque esta abierto P 1 = P 2 de igual modo si despreciamos la rapidez a la cual se mueve el agua en el tanque v = 0 se tiene: Pregunta 15 ρgy 1 = 1/2ρv ρgy 2 2g(y1 y 2 ) = v 2 Sustituyendo valores se obtiene: e) C = 40L/s Si el tanque es un depósito cerrado con una presión manométrica interior de 2.5atm, la rapidez de descarga en la válvula en m/s es: De la misma manera que se hizo anteriormente P 0 + P man 1/2ρv 2 + ρgy 1 = P 0 + 1/2ρv ρgy 2 P man + ρgy 1 = 1/2ρv ρgy 2 Donde P 0 es la presión atmosférica, que es común a ambos puntos y P man es la presión manométrica. 2Pman /ρ + 2g(y 1 y 2 ) = v 2 (9) La presión manométrica se debe pasar a Pascales P man sustituyendo valores = P a c) v 2 = 30.0m/s La ecuacion de una onda cosenoidal en una cuerda esta dada por y(x, t) = 0.05cos(16πx 160πt + π) m, donde x esta en metros y t en segundos. Pregunta 16 De la ecuacion de la onda podemos obtener directamente w=160πs 1 y k=16πm 1. Ahora tenemos la siguiente ecuacion V = w k c) V = 10 m s (10) 7

8 Pregunta 17 La rapidez transversal máxima para un punto situado en x=0.35. De la ecuacion de la onda A=0.05 m. La velocidad transversal máxima para cualquier punto de la cuerda es v max = Aw d) v max = 8π m s (11) La gráfica muestra una onda a lo largo de una cuerda al t=0. La onda es cosenoidal con una rápidez transversal máxima para cualquier punto en la cuerda de 20πm/s. La ecuación de la cuerda es y(x, t) = Acos(Kx wt + φ) (12) De la grafica y los datos del problema es facil ver que A = 20 cm = 0.2 m φ = 0 λ = 40 cm = 0.4 m = k = 2π λ = 5π m 1 v max = A w = w = v max A = 100π s 1 = T = 2π w = 0.02s (13) V propagacion = λ T = 20m s Entonces al sustituir en la ecuación (1) Pregunta 18 y(x, t) = 0.20cos(5πx 100πt) (14) La tension a la que se somete la cuerda es de 40 N, la densidad µ de masa de la cuerda es? Tenemos la siguiente ecuacion T V propagacion = µ = µ = T Vpropagacion 2 = 0.1 kg m Pregunta 19 b) µ = 0.1 kg m (15) Determine la constante de fase. Es claro que para t=0 la gráfica muestra un coseno no desplazado. Entonces la respuesta es a) φ = 0 8

9 Pregunta 20 Determine la magnitud de la maxima aceleracion transversar de un punto situado en x=0. La aceleración transversal máxima de un punto de la cuerda sin importar su coordenada esta dado por a max = A w 2 (16) e) a max = 2000π m s 2 (17) 9

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